پایداری نمایی

معادلات دیفرانسیل
حوزه کاربرد علوم طبیعی و مهندسی اخترشناسی فیزیک شیمی زیست‌شناسی زمین‌شناسی ریاضیات کاربردی مکانیک محیط‌های پیوسته نظریه آشوب سیستم‌های دینامیکی علوم اجتماعی علم اقتصاد دینامیک جمعیت
طبقه‌بندی
نوع عملگرها عملگر دیفرانسیلی نمادگذاری‌های مشتق معادلات دیفرانسیل معمولی معادلات دیفرانسیل تاخیری معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای دیفرانسیلی-جبری انتگرو-دیفرانسیلی حساب کسری خطی غیرخطی
ویژگی‌های متغیرها متغیر وابسته و مستقل معادله دیفرانسیل همگن معادلات دیفرانسیل معمولی جفتیده غیرجفتیده مرتبه درجه اتونوموس معادله دیفرانسیل کامل معادله دیفرانسیل مختلط
رابطه با فرآیندها تفاضل (مشابه گسسته) معادله دیفرانسیل تصادفی تاخیر
پاسخ‌ها
عناوین پاسخ‌ها قضیه پیکارد لیندلوف (وجود و یکتایی) رونسکین Phase portrait فضای فاز پایداری لیاپونوف پایداری مجانبی پایداری نمایی آهنگ همگرایی پاسخ‌های به فرم سری پاسخ‌های انتگرالی انتگرال‌گیری عددی تابع دلتای دیراک
روش‌های حل وارسی جداسازی متغیرها روش ضرایب نامعین فاکتور انتگرال‌گیری تبدیل انتگرالی روش اویلر روش اجزاء محدود روش تفاضل محدود روش حجم محدود کرنک نیکلسون روش‌های رونگه‐کوتا روش گالرکین نظریه اختلال
ریاضی‌دان‌ها آیزاک نیوتن لئونارد اویلر چارلز امیل پیکارد جوزف ماریا هوئن-رونسکی ارنست لیندلف رودولق لیپشیتز آگوستین لویی کوشی جان کرنک فیلیس نیکولسون کارل دیوید تولم رونگ مارتین ولهلم کوتا

در نظریه کنترل، یک سامانه خطی نامتغییر با زمان (اِل‌تی‌آی) پیوسته به‌صورت نمایی پایدار است اگر و تنها اگر سامانه دارای مقادیر ویژه (یعنی قطب‌های سامانه‌های ورودی به خروجی) با بخش‌های حقیقی اکیداً منفی (یعنی در نیمه چپ صفحه مختلط) باشد.^[۱] یک سامانه اِل‌تی‌آی با ورودی به خروجی گسسته در زمان، به صورت نمایی پایدار است اگر و تنها اگر قطب‌های تابع تبدیل آن اکیداً درون دایره واحد متمرکز بر مبدأ صفحه مختلط قرار گیرند. سامانه‌هایی که اِل‌تی‌آی نیستند اگر همگرایی آنها توسط اُفت نمایی کراندار شود، به‌صورت نمایی پایدار هستند. پایداری نمایی نوعی پایداری مجانبی است که برای سامانه‌های دینامیکی عمومی‌تر معتبر است.

سامانه‌ای را در نظر بگیرید $${\displaystyle {\dot {x}}=f(t,x),\ x(t_{0})=x_{0},}$$ که در اینجا ${\textstyle f}$ به صورت تکه‌ای پیوسته در ${\textstyle t}$ و لیپشیتز در ${\textstyle x}$ است. بدون از دست دادن کلیت، فرض کنید که ${\textstyle f}$ در مبدأ ${\textstyle x=0}$ یک تعادل دارد این تعادل در صورت وجود، به‌صورت نمایی پایدار است. ${\textstyle c,k,\lambda >0}$ به طوری که $${\displaystyle \|x(t)\|\leq k\|x(t_{0})\|e^{-\lambda (t-t_{0})},}$$ برای همه ${\textstyle \|x(t_{0})\|<c}$^[۲] یعنی، جواب ${\textstyle x(t)}$ نرخ تصاعدی اُفت را نشان می‌دهد.

یک سامانه اِل‌تی‌آی با پایداری نمایی، سامانه‌ای است که با اعمال یک ورودی محدود یا شرایط اولیه غیر صفر، «منفجر» (یعنی خروجی نامحدود نمی‌دهد) نمی‌شود. علاوه بر این، اگر به سامانه یک ورودی ثابت و محدود (یعنی یک پله) داده شود، هرگونه نوسان حاصل در خروجی با نرخ نمایی کاهش می‌یابد و خروجی به صورت مجانبی به یک مقدار نهایی و حالت مانا جدید میل می‌کند. اگر به جای آن، یک ضربه دلتای دیراک به عنوان ورودی به سامانه داده شود، نوسانات حاصله از بین می‌روند و سامانه به مقدار قبلی خود بازمی‌گردد. اگر نوسانات از بین نروند، یا سامانه با اعمال یک ضربه به خروجی اصلی خود برنگردد، سامانه در عوض پایداری حاشیه‌ای دارد.

نمودار سمت راست ، پاسخ ضربه دو سامانه مشابه را نشان می‌دهد. منحنی سبز، پاسخ سامانه با پاسخ ضربه ${\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {t}{5}}}}$ است، در حالی که آبی نشان دهنده سامانه با پاسخ ضربه ${\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {t}{5}}}\sin(t)}$ است. اگرچه یکی از پاسخ‌ها نوسانی است، اما هر دو با گذشت زمان به مقدار اولیهٔ ۰ برمی‌گردند.

• پایداری حاشیه‌ای
• نظریه کنترل
• فضای حالت (کنترل‌ها)

• تخمین پارامتر و پایداری مجانبی در فیلترسازی تصادفی، آناستازیا پاپاواسیلیو، ۲۸ سپتامبر ۲۰۰۴

الگو:Differential equations topics