فضای آفین
در ریاضیات، یک فضای آفین، یا فضای مُسْتَویٓ، یا فضای همگر، ساختاری هندسی است که برخی از خصوصیات فضاهای اقلیدسی را مستقل از مفهوم فاصله و اندازهگیری زاویه، تعمیم میدهد؛ بهگونهای که تنها خواص توازی (موازی بودن) و نسبت طول پاره خطهای موازی با هم حفظ شوند.
در یک فضای آفین، هیچ نقطهٔ مشخصی به عنوان مبدأ فضا وجود ندارد؛ لذا، هیچ برداری مبدأ ثابت ندشته و هیچ برداری را نمیتوان منحصراً به یک نقطهٔ خاص نسبت داد. در یک فضای برداری، تنها بردارهای جابهجایی وجود دارند که به آنها بردارهای انتقال یا، سادهتر، انتقال بین نقاط فضا گفته میشود.[۱] لذا، تفاضل نقاط فضا معنیدار خواهد بود و منجر به تولید بردار انتقال میگردد، اما جمع کردن نقاط فضا بیمعنی خواهد بود. بنابراین، با افزودن یک بردار انتقال به یک نقطه، میتوان به نقاط جدید رسید.
هر فضای برداری را میتوان بهعنوان یک فضای آفین درنظر گرفت؛ این امر با فراموش کردن نقش ویژهای که بردار صفرِ مبدأ در فضای برداری دارد رخ میدهد. در این حالت، عناصر فضای برداری را میتوان یا به صورت نقاط فضای آفین دید، یا به صورت بردارهای جابهجایی یا «انتقالها». زمانی که یک بردار صفر را بهعنوان نقطه درنظر بگیریم، به آن مبدأ هم گفته میشود. افزودن یک بردار ثابت به عناصر یک زیرفضای خطی از یک فضای برداری، «زیرفضای آفین» تولید خواهد کرد. همچنین میتوان گفت این زیر فضای آفین از طریق انتقال (دور کردن آن از مبدأ) یک زیر فضای خطی با کمک بردار انقال بدست آمدهاست. در ابعاد نامتناهی، چنین زیرفضای آفینی، مجموعهٔ جواب دستگاه خطی ناهمگن خواهد بود. بردارهای انتقال برای آن فضای آفین هم جوابهای متناضر به دسگاه همگن خطی خواهد بود که خود زیرفضایی خطی میباشند. در مقایسه، زیرفضاهای خطی همیشه شامل مبدأ آن فضای برداریست.
بعد یک فضای آفین به صورت بعد فضای برداری انتقالات آن تعریف میشود. هر فضای آفین از بُعدِ ۲، صفحهٔ آفین، و هر فضای آفین از بُعدِ ۱، خط آفین است. ایضاً، هر زیرفضای آفین با بُعدِ n-1 را نیز در یک فضای آفین از فضای برداری n-بُعدی، اَبَرصفحهٔ آفین مینامند.
پانویس
- ↑ معمولاً از کلمه انتقال برای اشاره به «بردار انتقال» استفاده میشود، به گونه ای که این امر ممکن است موجب سردرگمی خواننده گردد، چرا که دوران هم نوع خاصی از انتقال است.
منابع
- Berger, Marcel (1984), "Affine spaces", Problems in Geometry, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90971-4
- Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
- Cameron, Peter J. (1991), Projective and polar spaces, QMW Maths Notes, vol. 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
- Affine space, Dolgachev and Shirokov
- Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl 0367.14001.
- Nomizu, K.; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
- Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), Metric Affine Geometry (Dover edition, first published in 1989 ed.), Dover Publications, ISBN 0-486-66108-3
- Tarrida, Agusti R. (2011), "Affine spaces", Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics, Springer, ISBN 978-0-85729-709-9
- مشارکتکنندگان ویکیپدیا. «Affine Space». در دانشنامهٔ ویکیپدیای انگلیسی.