ضریب شدت تنش

${\displaystyle 2a}$

${\displaystyle K_{\mathrm {I} }=\sigma {\sqrt {\pi a}}}$

است.

${\displaystyle a}$

${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle K_{\rm {I}}={\frac {2}{\pi }}\sigma {\sqrt {\pi a}}\,.}$

است.^[۱۳]

${\displaystyle 2b}$

${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[{\cfrac {1-{\frac {a}{2b}}+0.326\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}}{\sqrt {1-{\frac {a}{b}}}}}\right]\,.}$

است.^[۱۰] اگر ترک در مرکز عرض قرار نگیرد(${\displaystyle d\neq b}$)، ضریب شدت تنش در مکان A را می‌توان با بسط سری^[۱۰][۱۴]

${\displaystyle K_{\rm {IA}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[1+\sum _{n=2}^{M}C_{n}\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}\right]}$

که در آن ضرایب ${\displaystyle C_{n}}$ را می‌توان از طریق برازش به منحنی‌های شدت تنش، برای مقادیر مختلف ${\displaystyle d}$ پیدا کرد.^[۱۰] یک رابطهٔ مشابه (اما نه یکسان) را می‌توان برای نوک B ترک یافت. رابطه‌های جایگزین برای ضرایب شدت تنش در A و B عبارتند از^[۱۵]

${\displaystyle K_{\rm {IA}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,\Phi _{A}\,\,,K_{\rm {IB}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,\Phi _{B}}$

که در آن

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{A}&:=\left[\beta +\left({\frac {1-\beta }{4}}\right)\left(1+{\frac {1}{4{\sqrt {\sec \alpha _{A}}}}}\right)^{2}\right]{\sqrt {\sec \alpha _{A}}}\\\Phi _{B}&:=1+\left[{\frac {{\sqrt {\sec \alpha _{AB}}}-1}{1+0.21\sin \left\{8\,\tan ^{-1}\left[\left({\frac {\alpha _{A}-\alpha _{B}}{\alpha _{A}+\alpha _{B}}}\right)^{0.9}\right]\right\}}}\right]\end{aligned}}}$

با

${\displaystyle \beta$ :=\sin \left({\frac {\pi \alpha _{B}}{\alpha _{A}+\alpha _{B}}}\right)~,~~\alpha _{A}:={\frac {\pi a}{2d}}~,~~\alpha _{B}:={\frac {\pi a}{4b-2d}}~;~~\alpha _{AB}:={\frac {4}{7}}\,\alpha _{A}+{\frac {3}{7}}\,\alpha _{B}\,.}

در عبارات فوق ${\displaystyle d}$، فاصلهٔ مرکز ترک تا نزدیکترین مرز به نقطه A است. توجه داشته باشید که وقتی ${\displaystyle d=b}$ عبارات بالا به عبارت تقریبی برای یک ترک مرکزی ساده نمی‌شوند.

${\displaystyle 2h\times b}$

${\displaystyle a}$

${\displaystyle h/b\geq 0.5}$

${\displaystyle a/b\leq 0.6}$

${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[1.122-0.231\left({\frac {a}{b}}\right)+10.55\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}-21.71\left({\frac {a}{b}}\right)^{3}+30.382\left({\frac {a}{b}}\right)^{4}\right]\,.}$

برای هنگامی که ${\displaystyle h/b\geq 1}$ و ${\displaystyle a/b\geq 0.3}$، ضریب شدت تنش را می‌توان توسط رابطه

${\displaystyle K_{\rm {I}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left[{\frac {1+3{\frac {a}{b}}}{2{\sqrt {\pi {\frac {a}{b}}}}\left(1-{\frac {a}{b}}\right)^{3/2}}}\right]\,}$

تقریب زد.

${\displaystyle 2a}$

${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle y}$

${\displaystyle \alpha \sigma }$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left(\cos ^{2}\beta +\alpha \sin ^{2}\beta \right)\\K_{\rm {II}}&=\sigma {\sqrt {\pi a}}\left(1-\alpha \right)\sin \beta \cos \beta \end{aligned}}}$

هستند^[۱۷][۱۸] به طوری که ${\displaystyle \beta }$، زاویه ایجاد شده توسط ترک با محور ${\displaystyle x}$ است.

${\displaystyle 2h\times 2b}$

${\displaystyle 2a}$

${\displaystyle F_{x}}$

${\displaystyle F_{y}}$

${\displaystyle x,y}$

برای شرایطی که صفحه در مقایسه با اندازه ترک بزرگ است و محل نیرو نسبتاً نزدیک به ترک است، یعنی ${\displaystyle h\gg a}$ ، ${\displaystyle b\gg a}$ ، ${\displaystyle x\ll b}$ ، ${\displaystyle y\ll h}$ ، صفحه را می توان نا‌متناهی در نظر گرفت. در آن صورت، برای ضریب شدت تنش حاصل از ${\displaystyle F_{x}}$ در نوک ترک B ( ${\displaystyle x=a}$)

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\left[G_{1}+{\frac {1}{\kappa -1}}H_{1}\right]\\K_{\rm {II}}&={\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left[G_{2}+{\frac {1}{\kappa +1}}H_{2}\right]\end{aligned}}}$

هستند. ^{[۱۸] [۱۹]} به طوری که

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}&=1-{\text{Re}}\left[{\frac {a+z}{\sqrt {z^{2}-a^{2}}}}\right]\,,\,\,G_{2}=-{\text{Im}}\left[{\frac {a+z}{\sqrt {z^{2}-a^{2}}}}\right]\\H_{1}&={\text{Re}}\left[{\frac {a({\bar {z}}-z)}{({\bar {z}}-a){\sqrt {{\bar {z}}^{2}-a^{2}}}}}\right]\,,\,\,H_{2}=-{\text{Im}}\left[{\frac {a({\bar {z}}-z)}{({\bar {z}}-a){\sqrt {{\bar {z}}^{2}-a^{2}}}}}\right]\end{aligned}}}$

با ${\displaystyle z=x+iy}$ ، ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ ، ${\displaystyle \kappa =3-4\nu }$ برای کرنش صفحه‌ای، ${\displaystyle \kappa =(3-\nu )/(1+\nu )}$ برای تنش صفحه‌ای، و ${\displaystyle \nu }$ نسبت پواسون.

ضرایب شدت تنش برای ${\displaystyle F_{y}}$ در نوک B

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left[G_{2}-{\frac {1}{\kappa +1}}H_{2}\right]\\K_{\rm {II}}&=-{\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\left[G_{1}-{\frac {1}{\kappa -1}}H_{1}\right]\,.\end{aligned}}}$

هستند.

ضرایب شدت تنش در نوک A (${\displaystyle x=-a}$) را می توان از روابط فوق تعیین کرد. برای بار ${\displaystyle F_{x}}$ در محل ${\displaystyle (x,y)}$،

${\displaystyle K_{\rm {I}}(-a;x,y)=-K_{\rm {I}}(a;-x,y)\,,\,\,K_{\rm {II}}(-a;x,y)=K_{\rm {II}}(a;-x,y)\,.}$

به طور مشابه برای بار ${\displaystyle F_{y}}$،

${\displaystyle K_{\rm {I}}(-a;x,y)=K_{\rm {I}}(a;-x,y)\,,\,\,K_{\rm {II}}(-a;x,y)=-K_{\rm {II}}(a;-x,y)\,.}$

${\displaystyle F_{y}}$

${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle -a<x<a}$

${\displaystyle K_{\rm {I}}={\frac {F_{y}}{2{\sqrt {\pi a}}}}{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\,,\,\,K_{\rm {II}}=-{\frac {F_{x}}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\,.}$

اگر نیرو به طور یکنواخت بین ${\displaystyle -a<x<a}$ توزیع شده باشد، سپس ضریب شدت تنش در نوک B برابر است با

${\displaystyle K_{\rm {I}}={\frac {1}{2{\sqrt {\pi a}}}}\int _{-a}^{a}F_{y}(x)\,{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\,{\rm {d}}x\,,\,\,K_{\rm {II}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {\pi a}}}}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +1}}\right)\int _{-a}^{a}F_{y}(x)\,{\rm {d}}x,\,.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {P}{B}}{\sqrt {\frac {\pi }{W}}}\left[16.7\left({\frac {a}{W}}\right)^{1/2}-104.7\left({\frac {a}{W}}\right)^{3/2}+369.9\left({\frac {a}{W}}\right)^{5/2}\right.\\&\qquad \left.-573.8\left({\frac {a}{W}}\right)^{7/2}+360.5\left({\frac {a}{W}}\right)^{9/2}\right]\end{aligned}}}$

است^[۲۰] که ${\displaystyle P}$ بار اعمال شده، ${\displaystyle B}$ ضخامت نمونه، ${\displaystyle a}$ طول ترک و ${\displaystyle W}$ عرض نمونه است.

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&={\frac {4P}{B}}{\sqrt {\frac {\pi }{W}}}\left[1.6\left({\frac {a}{W}}\right)^{1/2}-2.6\left({\frac {a}{W}}\right)^{3/2}+12.3\left({\frac {a}{W}}\right)^{5/2}\right.\\&\qquad \left.-21.2\left({\frac {a}{W}}\right)^{7/2}+21.8\left({\frac {a}{W}}\right)^{9/2}\right]\end{aligned}}}$

که ${\displaystyle P}$ بار اعمال شده، ${\displaystyle B}$ ضخامت نمونه، ${\displaystyle a}$ طول ترک و ${\displaystyle W}$ عرض نمونه است.