فهرست اتحادهای مثلثاتی

این نوشتار شامل فهرستی از فهرست اتحادهای مثلثاتی است.

مقادیر سینوس و کسینوس برای زوایای خاص روی دایرهٔ واحد.

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$

1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta

1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta

تبدیل زاویه

جمع و تفاضل دو زاویه

کسینوس

\cos(\theta +\beta )=\cos \theta .\cos \beta -\sin \theta .\sin \beta \,

\cos(\theta -\beta )=\cos \theta .\cos \beta +\sin \theta .\sin \beta \,

سینوس

\sin(\theta +\beta )=\sin \theta .\cos \beta +\cos \theta .\sin \beta \,

\sin(\theta -\beta )=\sin \theta .\cos \beta -\cos \theta .\sin \beta \,

تانژانت

\tan(\theta +\beta )={\frac {\tan \theta +\tan \beta }{1-\tan \theta .\tan \beta }}\,

\tan(\theta -\beta )={\frac {\tan \theta -\tan \beta }{1+\tan \theta .\tan \beta }}\,

کتانژانت

\cot(\theta +\beta )={\frac {\cot \theta .\cot \beta -1}{\cot \theta +\cot \beta }}\,

\cot(\theta -\beta )={\frac {\cot \theta .\cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \theta }}\,

زاویه دو برابر

\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}

\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}

\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}

\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}

\sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}

\csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}

زاویه سه برابر

\sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta

\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta

\tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}

نصف کمان

\cos ^{2}\phi ={\frac {1}{2}}\ (1+\cos 2\phi )

\sin ^{2}\phi ={\frac {1}{2}}\ (1-\cos 2\phi )

\tan {\frac {\phi }{2}}\ ={\frac {\sin \phi }{1+\cos \phi }}\

تبدیل ضرب به جمع

\sin a.\cos b={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}

\cos a.\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}

\sin a.\sin b={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}

تبدیل جمع به ضرب

\sin a\pm \sin b=2\sin({\frac {a\pm b}{2}}).\cos({\frac {a\mp b}{2}}\,)

\cos a+\cos b=2\cos({\frac {a+b}{2}}).\cos({\frac {a-b}{2}}\,)

\cos a-\cos b=-2\sin({\frac {a+b}{2}}).\sin({\frac {a-b}{2}}\,)

\tan a\pm \tan b={\frac {\sin(a\pm b)}{\cos a\cos b}}

جمع سینوس و کسینوس یک زاویه مهندسی

\displaystyle \sin \theta \pm \cos \theta ={\sqrt {2}}\sin(\theta \pm {\frac {\pi }{4}})

تانژانت

{\frac {1\pm \tan x}{1\mp \tan x}}=\tan(\pi /4\pm x)

\tan(\pi /2-x)=\cot(x)

منابع

آرتور کاکسفورد. اصول و کاربردهای مثلثات. ترجمهٔ عادل ارشقی. انتشارات رسا.

بهمن اصلاح پذیر. حسابان. شرکت چاپ و نشر کتاب‌های درسی ایران.

احمد فیروزنیا. مثلثات. سازمان پژوهش و برنامه‌ریزی آموزشی.