اتحادهای گرین

در ریاضیات، اتحادهای گرین شامل سه اتحاد در جبر بردارها است که به نام جورج گرین ریاضیدان انگلیسی نام‌گذاری شده‌است.

اتحاد یکم

این اتحاد از وارد کردن قضیهٔ دیورژانس در فضای برداری بدست آمده‌است. $\mathbf {F} =\psi \nabla \varphi$ فرض کنید φ و ψ تابع‌های نردبانی اند (عددی) که بر روی ناحیهٔ U از R^۳ تعریف شده‌اند. همچنین فرض کنید که φ دو بار مشتق پذیر و پیوسته و ψ یک بار مشتق پذیر و پیوسته است. آنگاه:^[۱]

\int _{U}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi +\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS

که در آن $\nabla ^{2}$ همان عملگر لاپلاس است. n بردار یکهٔ عمود بر سطح کوچک dS و ${\partial U}$ مرز ناحیهٔ U می‌باشد. این قضیه اساساً هم‌ارز انتگرال‌گیری در ابعاد بالاتر است که دارای جزءهای ψ و گرادیان φ به جای u و v می‌باشد.

اتحاد دوم

اگر φ و ψ هر دو، دو بار مشتق پذیر و پیوسته بر روی ناحیهٔ U از R^۳ باشند و ε یک بار مشتق پذیر و پیوسته باشد:

\int _{U}\left[\psi \nabla \cdot \left(\epsilon \nabla \varphi \right)-\varphi \nabla \cdot \left(\epsilon \nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\epsilon \left(\psi {\partial \varphi  \over \partial n}-\varphi {\partial \psi  \over \partial n}\right)\,dS.

در حالت خاص $\epsilon =1$ بر روی ناحیهٔ U از R^۳ خواهیم داشت:

\int _{U}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi -\varphi \nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi  \over \partial n}-\varphi {\partial \psi  \over \partial n}\right)\,dS.

در رابطهٔ بالا، ∂φ / ∂n مشتق جهت دار φ در جهت n، رو به بیرون و عمود بر سطح کوچک dS است:

{\partial \varphi  \over \partial n}=\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} .

اتحاد سوم

اتحاد سوم گرین از اتحاد دوم بدست می‌آید. به شرطی که $\varphi =G$ در نظر بگیریم و G جواب معادلهٔ لاپلاس باشد و این بدین معنی است که:

\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {\eta } )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {\eta } ).

برای نمونه در $\mathbb {R} ^{3}$ جواب بنیادی فرم زیر را دارد:

G(\mathbf {x} ,\mathbf {\eta } )={-1 \over 4\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {\eta } \|}.

اتحاد سوم گرین می‌گوید که اگر ψ تابعی باشد که دو بار بر روی ناحیهٔ U پیوسته و مشتق پذیر است، آنگاه:

\int _{U}\left[G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } )\nabla ^{2}\psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }-\psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\left[G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ){\partial \psi  \over \partial n}(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}\right]\,dS_{\mathbf {y} }.

اگر بخواهیم مسئله را ساده‌تر کنیم، آن را به این شکل بیان می‌داریم که اگر ψ یک تابع هارمونیک باشد، برای نمونه جواب معادلهٔ لاپلاس باشد، آنگاه $\nabla ^{2}\psi =0$ و اتحاد به شکل زیر ساده می‌شود:

\psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}-G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ){\partial \psi  \over \partial n}(\mathbf {y} )\right]\,dS_{\mathbf {y} }.

منبع و یادداشت

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Green's identities». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۵ نوامبر ۲۰۱۱.

↑ Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley.

جستارهای وابسته

پیوند به بیرون

اتحادهای گرین در Wolfram MathWorld.

[strauss-1] Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley.

[۱]